Identidades Trigonométricas
Una identidad es una relación que contiene funciones trigonométricas. Además de las antes descritas —cociente y pitagóricas—, existen otras identidades que se expresan por medio de una igualdad y que son válidas para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones. No existe un método específico para verificar una identidad, sólo algunas sugerencias.
Las identidades trigonométricas son útiles cuando queremos reescribir o simplificar expresiones trigonométricas. Las identidades trigonométricas son verdaderas para cada valor que ocurre en ambos lados de una ecuación. Todas las identidades trigonométricas son derivadas de las seis funciones trigonométricas fundamentales, las cuales son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Por su parte, estas funciones trigonométricas son definidas usando los lados del triángulo rectángulo, es decir, el lado opuesto, el lado adyacente y la hipotenusa.
Un recíproco de una fracción es definido como una fracción que tiene al numerador y al denominador cambiados de posiciones. Las identidades recíprocas son definidas con respecto a las funciones trigonométricas fundamentales, seno, coseno y tangente.
Cada función trigonométrica fundamental produce una identidad recíproca.
De igual forma, la función secante es la función recíproca del coseno y la función cotangente es la función recíproca de la tangente. Entonces, tenemos las fórmulas:
Las identidades Pitagóricas son derivadas del teorema de Pitágoras. En un círculo unitario, las coordenadas x corresponden a coseno y las coordenadas y corresponden a seno. Además, el radio unitario corresponde a la hipotenusa, por lo que tenemos:
Esta es la identidad Pitagórica principal. A partir de esta identidad, podemos dividirla por seno o coseno para obtener las siguientes variaciones:
En estas identidades, «tan» representa a la tangente, «sec» representa a la secante, «cot» representa a la cotangente y «csc» representa a la cosecante.
Las identidades de cociente son fórmulas que relacionan a la tangente y a la cotangente en términos del seno y del coseno. La función seno es definida como el lado opuesto dividido por la hipotenusa y la función coseno es definida como el lado adyacente dividido por la hipotenusa.
Estas definiciones pueden ser usadas para comprobar las siguientes fórmulas de las identidades del cociente:
Para comprobar las identidades se puede proceder de la siguiente manera:
1. Se transforma uno de los miembros de la igualdad, cualquiera de los dos, en el otro (generalmente se transforma el miembro más complicado). Se escriben las funciones en términos de senos y cosenos.
2. Se simplifica la expresión de un lado de la igualdad; la otra no se altera. Para ello se sugiere que se realicen las operaciones indicadas como factorizar, simplificar, suma de fracciones, etcétera.
3. Para poder realizar las demostraciones deberás tener un completo dominio de las definiciones de las funciones trigonométricas y las ocho relaciones fundamentales. Saberlas de memoria y sin dudas, así como sabes las tablas de multiplicar.
En la siguiente tabla se resumen las ocho relaciones fundamentales :
Como vimos en la definición, una identidad trigonométrica es cualquier igualdad que involucra funciones trigonométricas y se verifica para cualquier ángulo. A continuación se te mostrarán algunas identidades trigonométricas, deberás verificar que sean verdaderas.
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